Լուծեք {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$8a-b=9$$

Գումարեք b հավասարման երկու կողմին:

$$8a=b+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ b+9:

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

Փոխարինեք \frac{9+b}{8}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4a+9b=7:

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{9+b}{8}:

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

Գումարեք \frac{b}{2} 9b-ին:

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Հանեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=\frac{5}{19}$$

Փոխարինեք \frac{5}{19}-ը b-ով a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ \frac{5}{19}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

Գումարեք \frac{9}{8} \frac{5}{152}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=\frac{22}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

8a-ը և 4a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 8-ով:

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

Պարզեցնել:

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

Հանեք 32a+72b=56 32a-4b=36-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

Գումարեք 32a -32a-ին: 32a-ը և -32a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4b-72b=36-56$$

Գումարեք -4b -72b-ին:

$$-76b=36-56$$

Գումարեք 36 -56-ին:

$$-76b=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -76-ի:

$$b=\frac{5}{19}$$

Փոխարինեք \frac{5}{19}-ը b-ով 4a+9b=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{5}{19}:

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

Հանեք \frac{45}{19} հավասարման երկու կողմից:

$$4a=\frac{88}{19}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$a=\frac{22}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$