Լուծեք {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$8+4x-2y=0$$

Հանեք 8 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$4x-2y=-8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$-4x+3y=14$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-2y=-8$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=2y-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -8+2y:

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}-2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x+3y=14:

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{y}{2}-2:

$$-2y+8+3y=14$$

Գումարեք -2y 3y-ին:

$$y+8=14$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=\frac{1}{2}y-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 6:

$$x=3-2$$

Գումարեք -2 3-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$8+4x-2y=0$$

Հանեք 8 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$4x-2y=-8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$-4x+3y=14$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$8+4x-2y=0$$

Հանեք 8 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$4x-2y=-8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$-4x+3y=14$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

4x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Պարզեցնել:

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Հանեք -16x+12y=56 -16x+8y=32-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Գումարեք -16x 16x-ին: -16x-ը և 16x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-12y=32-56$$

Գումարեք 8y -12y-ին:

$$-4y=32-56$$

Գումարեք 32 -56-ին:

$$-4y=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով -4x+3y=14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x+3\times 6=14$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 6:

$$-4x+18=14$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$-4x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=6$$