Լուծեք {l}{73x-7y=66}{18x+98y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$73x-7y=66$$

Գումարեք 7y հավասարման երկու կողմին:

$$73x=7y+66$$

Բաժանեք երկու կողմերը 73-ի:

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{73} անգամ 7y+66:

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

Փոխարինեք \frac{7y+66}{73}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 18x+98y=25:

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

Բազմապատկեք 18 անգամ \frac{7y+66}{73}:

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

Գումարեք \frac{126y}{73} 98y-ին:

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

Հանեք \frac{1188}{73} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7280}{73}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{7}{80}$$

Փոխարինեք \frac{7}{80}-ը y-ով x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

Բազմապատկեք \frac{7}{73} անգամ \frac{7}{80}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

Գումարեք \frac{66}{73} \frac{49}{5840}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{73}{80}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

73x-ը և 18x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 18-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 73-ով:

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

Պարզեցնել:

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

Հանեք 1314x+7154y=1825 1314x-126y=1188-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

Գումարեք 1314x -1314x-ին: 1314x-ը և -1314x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-126y-7154y=1188-1825$$

Գումարեք -126y -7154y-ին:

$$-7280y=1188-1825$$

Գումարեք 1188 -1825-ին:

$$-7280y=-637$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7280-ի:

$$y=\frac{7}{80}$$

Փոխարինեք \frac{7}{80}-ը y-ով 18x+98y=25-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

Բազմապատկեք 98 անգամ \frac{7}{80}:

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

Հանեք \frac{343}{40} հավասարման երկու կողմից:

$$18x=\frac{657}{40}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$x=\frac{73}{80}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$