Լուծեք {l}{7x=y+39}{11x=y-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-12$$

$$y=-123$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$7x-y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$11x-y=-9$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x-y=39$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$7x=y+39$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ y+39:

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

Փոխարինեք \frac{39+y}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 11x-y=-9:

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

Բազմապատկեք 11 անգամ \frac{39+y}{7}:

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

Գումարեք \frac{11y}{7} -y-ին:

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

Հանեք \frac{429}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{4}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-123$$

Փոխարինեք -123-ը y-ով x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -123:

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

Գումարեք \frac{39}{7} -\frac{123}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-12,y=-123$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$7x-y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$11x-y=-9$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-12,y=-123$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$7x-y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$11x-y=-9$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Հանեք 11x-y=-9 7x-y=39-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$7x-11x-y+y=39+9$$

Գումարեք -y y-ին: -y-ը և y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7x-11x=39+9$$

Գումարեք 7x -11x-ին:

$$-4x=39+9$$

Գումարեք 39 9-ին:

$$-4x=48$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-12$$

Փոխարինեք -12-ը x-ով 11x-y=-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

Բազմապատկեք 11 անգամ -12:

$$-132-y=-9$$

Գումարեք 132 հավասարման երկու կողմին:

$$-y=123$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-123$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-12,y=-123$$