Լուծեք {l}{7x+8y=30}{8x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+8y=30$$

Հանեք 8y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-8y+30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -8y+30:

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-8y+30}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 8x-5y=6:

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{-8y+30}{7}:

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

Գումարեք -\frac{64y}{7} -5y-ին:

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

Հանեք \frac{240}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{99}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{8}{7} անգամ 2:

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

Գումարեք \frac{30}{7} -\frac{16}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

7x-ը և 8x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

Պարզեցնել:

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

Հանեք 56x-35y=42 56x+64y=240-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

Գումարեք 56x -56x-ին: 56x-ը և -56x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$64y+35y=240-42$$

Գումարեք 64y 35y-ին:

$$99y=240-42$$

Գումարեք 240 -42-ին:

$$99y=198$$

Բաժանեք երկու կողմերը 99-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 8x-5y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$8x-5\times 2=6$$

Բազմապատկեք -5 անգամ 2:

$$8x-10=6$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$8x=16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=2$$