Լուծեք {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-7$$

$$y=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+8y=15$$

Հանեք 8y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-8y+15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -8y+15:

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-8y+15}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x+8y=1:

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{-8y+15}{7}:

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

Գումարեք -\frac{72y}{7} 8y-ին:

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

Հանեք \frac{135}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{16}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=8$$

Փոխարինեք 8-ը y-ով x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{8}{7} անգամ 8:

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

Գումարեք \frac{15}{7} -\frac{64}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-7,y=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-7,y=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Հանեք 9x+8y=1 7x+8y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

Գումարեք 8y -8y-ին: 8y-ը և -8y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7x-9x=15-1$$

Գումարեք 7x -9x-ին:

$$-2x=15-1$$

Գումարեք 15 -1-ին:

$$-2x=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-7$$

Փոխարինեք -7-ը x-ով 9x+8y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -7:

$$-63+8y=1$$

Գումարեք 63 հավասարման երկու կողմին:

$$8y=64$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$y=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-7,y=8$$