Լուծեք {l}{7x+6y=18}{x=4-y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{y}{2}-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+y=8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+6y=18$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-6y+18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -6y+18:

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-6y+18}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+y=8:

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-6y+18}{7}:

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

Գումարեք -\frac{12y}{7} y-ին:

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

Հանեք \frac{36}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{6}{7} անգամ -4:

$$x=\frac{24+18}{7}$$

Գումարեք \frac{18}{7} \frac{24}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{y}{2}-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+y=8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{y}{2}-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+y=8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

7x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

Պարզեցնել:

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

Հանեք 14x+7y=56 14x+12y=36-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

Գումարեք 14x -14x-ին: 14x-ը և -14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y-7y=36-56$$

Գումարեք 12y -7y-ին:

$$5y=36-56$$

Գումարեք 36 -56-ին:

$$5y=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով 2x+y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-4=8$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-4$$