Լուծեք {l}{7x+5y=-16}{5x-2y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 16 } \\ { 5 x - 2 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+5y=-16$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-5y-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-16\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -5y-16:

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-5y-16}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-2y=-17:

$$5\left(-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}\right)-2y=-17$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-5y-16}{7}:

$$-\frac{25}{7}y-\frac{80}{7}-2y=-17$$

Գումարեք -\frac{25y}{7} -2y-ին:

$$-\frac{39}{7}y-\frac{80}{7}=-17$$

Գումարեք \frac{80}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{39}{7}y=-\frac{39}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{39}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{-5-16}{7}$$

Գումարեք -\frac{16}{7} -\frac{5}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 5}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\\frac{5}{39}&-\frac{7}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{39}\left(-16\right)+\frac{5}{39}\left(-17\right)\\\frac{5}{39}\left(-16\right)-\frac{7}{39}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

7x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$5\times 7x+5\times 5y=5\left(-16\right),7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\left(-17\right)$$

Պարզեցնել:

$$35x+25y=-80,35x-14y=-119$$

Հանեք 35x-14y=-119 35x+25y=-80-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$35x-35x+25y+14y=-80+119$$

Գումարեք 35x -35x-ին: 35x-ը և -35x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$25y+14y=-80+119$$

Գումարեք 25y 14y-ին:

$$39y=-80+119$$

Գումարեք -80 119-ին:

$$39y=39$$

Բաժանեք երկու կողմերը 39-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 5x-2y=-17-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-2=-17$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=1$$