Լուծեք {l}{7x+4y=13}{3x-2y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 13 } \\ { 3 x - 2 y = 19 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{51}{13} = 3\frac{12}{13} \approx 3.923076923$$

$$y = -\frac{47}{13} = -3\frac{8}{13} \approx -3.615384615$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+4y=13,3x-2y=19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+4y=13$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-4y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -4y+13:

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{13}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-4y+13}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=19:

$$3\left(-\frac{4}{7}y+\frac{13}{7}\right)-2y=19$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-4y+13}{7}:

$$-\frac{12}{7}y+\frac{39}{7}-2y=19$$

Գումարեք -\frac{12y}{7} -2y-ին:

$$-\frac{26}{7}y+\frac{39}{7}=19$$

Հանեք \frac{39}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{26}{7}y=\frac{94}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{26}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{47}{13}$$

Փոխարինեք -\frac{47}{13}-ը y-ով x=-\frac{4}{7}y+\frac{13}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{47}{13}\right)+\frac{13}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{7} անգամ -\frac{47}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{188}{91}+\frac{13}{7}$$

Գումարեք \frac{13}{7} \frac{188}{91}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{51}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{51}{13},y=-\frac{47}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+4y=13,3x-2y=19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&4\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&4\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\19\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-4\times 3}&-\frac{4}{7\left(-2\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{7\left(-2\right)-4\times 3}&\frac{7}{7\left(-2\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{26}&-\frac{7}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\19\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 13+\frac{2}{13}\times 19\\\frac{3}{26}\times 13-\frac{7}{26}\times 19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{51}{13}\\-\frac{47}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{51}{13},y=-\frac{47}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+4y=13,3x-2y=19$$

7x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$3\times 7x+3\times 4y=3\times 13,7\times 3x+7\left(-2\right)y=7\times 19$$

Պարզեցնել:

$$21x+12y=39,21x-14y=133$$

Հանեք 21x-14y=133 21x+12y=39-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$21x-21x+12y+14y=39-133$$

Գումարեք 21x -21x-ին: 21x-ը և -21x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y+14y=39-133$$

Գումարեք 12y 14y-ին:

$$26y=39-133$$

Գումարեք 39 -133-ին:

$$26y=-94$$

Բաժանեք երկու կողմերը 26-ի:

$$y=-\frac{47}{13}$$

Փոխարինեք -\frac{47}{13}-ը y-ով 3x-2y=19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\left(-\frac{47}{13}\right)=19$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{47}{13}:

$$3x+\frac{94}{13}=19$$

Հանեք \frac{94}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{153}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{51}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{51}{13},y=-\frac{47}{13}$$