Լուծեք {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+3y=4$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-3y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -3y+4:

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+4}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+4y=8:

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-3y+4}{7}:

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

Գումարեք -\frac{6y}{7} 4y-ին:

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

Հանեք \frac{8}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{22}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{24}{11}$$

Փոխարինեք \frac{24}{11}-ը y-ով x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{7} անգամ \frac{24}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

Գումարեք \frac{4}{7} -\frac{72}{77}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{4}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

7x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

Պարզեցնել:

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

Հանեք 14x+28y=56 14x+6y=8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

Գումարեք 14x -14x-ին: 14x-ը և -14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y-28y=8-56$$

Գումարեք 6y -28y-ին:

$$-22y=8-56$$

Գումարեք 8 -56-ին:

$$-22y=-48$$

Բաժանեք երկու կողմերը -22-ի:

$$y=\frac{24}{11}$$

Փոխարինեք \frac{24}{11}-ը y-ով 2x+4y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{24}{11}:

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

Հանեք \frac{96}{11} հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-\frac{8}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-\frac{4}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$