Լուծեք {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել w, z-ի համար

$$z=1$$

$$w=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2z երկու կողմերից:

$$5w-2z=8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն w-ի համար՝ առանձնացնելով w-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7w+2z=16$$

Հանեք 2z հավասարման երկու կողմից:

$$7w=-2z+16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -2z+16:

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-2z+16}{7}-ը w-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5w-2z=8:

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-2z+16}{7}:

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Գումարեք -\frac{10z}{7} -2z-ին:

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Հանեք \frac{80}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{24}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$z=1$$

Փոխարինեք 1-ը z-ով w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես w-ի համար:

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Գումարեք \frac{16}{7} -\frac{2}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$w=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$w=2,z=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2z երկու կողմերից:

$$5w-2z=8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի w և z տարրերը:

$$w=2,z=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2z երկու կողմերից:

$$5w-2z=8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w-ը և 5w-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Պարզեցնել:

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Հանեք 35w-14z=56 35w+10z=80-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Գումարեք 35w -35w-ին: 35w-ը և -35w-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10z+14z=80-56$$

Գումարեք 10z 14z-ին:

$$24z=80-56$$

Գումարեք 80 -56-ին:

$$24z=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 24-ի:

$$z=1$$

Փոխարինեք 1-ը z-ով 5w-2z=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես w-ի համար:

$$5w-2=8$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$5w=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$w=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$w=2,z=1$$