Լուծեք {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$62x+y=44$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$62x=-y+44$$

Բաժանեք երկու կողմերը 62-ի:

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{62} անգամ -y+44:

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

Փոխարինեք -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 34x-y=36:

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

Բազմապատկեք 34 անգամ -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}:

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

Գումարեք -\frac{17y}{31} -y-ին:

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

Հանեք \frac{748}{31} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{48}{31}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{23}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{23}{3}-ը y-ով x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{62} անգամ -\frac{23}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

Գումարեք \frac{22}{31} \frac{23}{186}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{5}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$62x+y=44,34x-y=36$$

62x-ը և 34x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 34-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 62-ով:

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

Պարզեցնել:

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

Հանեք 2108x-62y=2232 2108x+34y=1496-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

Գումարեք 2108x -2108x-ին: 2108x-ը և -2108x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$34y+62y=1496-2232$$

Գումարեք 34y 62y-ին:

$$96y=1496-2232$$

Գումարեք 1496 -2232-ին:

$$96y=-736$$

Բաժանեք երկու կողմերը 96-ի:

$$y=-\frac{23}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{23}{3}-ը y-ով 34x-y=36-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

Հանեք \frac{23}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$34x=\frac{85}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 34-ի:

$$x=\frac{5}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$