Լուծեք {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6y+4x=27$$

Հանեք 4x հավասարման երկու կողմից:

$$6y=-4x+27$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -4x+27:

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+x=50:

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

Գումարեք -\frac{2x}{3} x-ին:

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

Հանեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 3-ով:

$$x=\frac{273}{2}$$

Փոխարինեք \frac{273}{2}-ը x-ով y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ \frac{273}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

Գումարեք \frac{9}{2} -91-ին:

$$y=-\frac{173}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6y+4x=27,y+x=50$$

6y-ը և y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

Պարզեցնել:

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

Հանեք 6y+6x=300 6y+4x=27-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

Գումարեք 6y -6y-ին: 6y-ը և -6y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4x-6x=27-300$$

Գումարեք 4x -6x-ին:

$$-2x=27-300$$

Գումարեք 27 -300-ին:

$$-2x=-273$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=\frac{273}{2}$$

Փոխարինեք \frac{273}{2}-ը x-ով y+x=50-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+\frac{273}{2}=50$$

Հանեք \frac{273}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$y=-\frac{173}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$