Լուծեք {l}{6x-1/3y=27}{4/5x+1/4y=25/4}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 1 / 3 y = 27 } \\ { 4 / 5 x + \frac { 1 } { 4 } y = 25 / 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x-\frac{1}{3}y=27$$

Գումարեք \frac{y}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$6x=\frac{1}{3}y+27$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}y+27\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ \frac{y}{3}+27:

$$x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}$$

Փոխարինեք \frac{y}{18}+\frac{9}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}:

$$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{5} անգամ \frac{y}{18}+\frac{9}{2}:

$$\frac{2}{45}y+\frac{18}{5}+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Գումարեք \frac{2y}{45} \frac{y}{4}-ին:

$$\frac{53}{180}y+\frac{18}{5}=\frac{25}{4}$$

Հանեք \frac{18}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{53}{180}y=\frac{53}{20}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{53}{180}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{18}\times 9+\frac{9}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{18} անգամ 9:

$$x=\frac{1+9}{2}$$

Գումարեք \frac{9}{2} \frac{1}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\\-\frac{\frac{4}{5}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&\frac{6}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}&\frac{10}{53}\\-\frac{24}{53}&\frac{180}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}\times 27+\frac{10}{53}\times \frac{25}{4}\\-\frac{24}{53}\times 27+\frac{180}{53}\times \frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

6x-ը և \frac{4x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{4}{5}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$\frac{4}{5}\times 6x+\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{4}{5}\times 27,6\times \frac{4}{5}x+6\times \frac{1}{4}y=6\times \frac{25}{4}$$

Պարզեցնել:

$$\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5},\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}$$

Հանեք \frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2} \frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{24}{5}x-\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Գումարեք \frac{24x}{5} -\frac{24x}{5}-ին: \frac{24x}{5}-ը և -\frac{24x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Գումարեք -\frac{4y}{15} -\frac{3y}{2}-ին:

$$-\frac{53}{30}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Գումարեք \frac{108}{5} -\frac{75}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$-\frac{53}{30}y=-\frac{159}{10}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{53}{30}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}\times 9=\frac{25}{4}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 9:

$$\frac{4}{5}x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Հանեք \frac{9}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{4}{5}x=4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{4}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=9$$