Լուծեք {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=600$$

$$y=400$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+5y=5600$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-5y+5600$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -5y+5600:

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 55x+46y=51400:

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

Բազմապատկեք 55 անգամ -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}:

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

Գումարեք -\frac{275y}{6} 46y-ին:

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

Հանեք \frac{154000}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 6-ով:

$$y=400$$

Փոխարինեք 400-ը y-ով x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{6} անգամ 400:

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

Գումարեք \frac{2800}{3} -\frac{1000}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=600$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=600,y=400$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=600,y=400$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

6x-ը և 55x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 55-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

Պարզեցնել:

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

Հանեք 330x+276y=308400 330x+275y=308000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

Գումարեք 330x -330x-ին: 330x-ը և -330x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$275y-276y=308000-308400$$

Գումարեք 275y -276y-ին:

$$-y=308000-308400$$

Գումարեք 308000 -308400-ին:

$$-y=-400$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=400$$

Փոխարինեք 400-ը y-ով 55x+46y=51400-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$55x+46\times 400=51400$$

Բազմապատկեք 46 անգամ 400:

$$55x+18400=51400$$

Հանեք 18400 հավասարման երկու կողմից:

$$55x=33000$$

Բաժանեք երկու կողմերը 55-ի:

$$x=600$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=600,y=400$$