Լուծեք {l}{6x+5y=4}{6x-7y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 4 } \\ { 6 x - 7 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+5y=4$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-5y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -5y+4:

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-7y=-20:

$$6\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}\right)-7y=-20$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}:

$$-5y+4-7y=-20$$

Գումարեք -5y -7y-ին:

$$-12y+4=-20$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$-12y=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{6}\times 2+\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{6} անգամ 2:

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Գումարեք \frac{2}{3} -\frac{5}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6\left(-7\right)-5\times 6}&-\frac{5}{6\left(-7\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 6}&\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{72}&\frac{5}{72}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{72}\times 4+\frac{5}{72}\left(-20\right)\\\frac{1}{12}\times 4-\frac{1}{12}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

Հանեք 6x-7y=-20 6x+5y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+5y+7y=4+20$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5y+7y=4+20$$

Գումարեք 5y 7y-ին:

$$12y=4+20$$

Գումարեք 4 20-ին:

$$12y=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 6x-7y=-20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-7\times 2=-20$$

Բազմապատկեք -7 անգամ 2:

$$6x-14=-20$$

Գումարեք 14 հավասարման երկու կողմին:

$$6x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=2$$