Լուծեք {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+5y=27$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-5y+27$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -5y+27:

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+y=13:

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}:

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

Գումարեք -\frac{5y}{3} y-ին:

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{2}{3}y=4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{2}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{6} անգամ -6:

$$x=5+\frac{9}{2}$$

Գումարեք \frac{9}{2} 5-ին:

$$x=\frac{19}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

6x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

Պարզեցնել:

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

Հանեք 12x+6y=78 12x+10y=54-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10y-6y=54-78$$

Գումարեք 10y -6y-ին:

$$4y=54-78$$

Գումարեք 54 -78-ին:

$$4y=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով 2x+y=13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-6=13$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=19$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{19}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$