Լուծեք {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6m-5n=-9$$

Գումարեք 5n հավասարման երկու կողմին:

$$6m=5n-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ 5n-9:

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4m+3n=65:

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}:

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

Գումարեք \frac{10n}{3} 3n-ին:

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{19}{3}n=71$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$n=\frac{213}{19}$$

Փոխարինեք \frac{213}{19}-ը n-ով m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{6} անգամ \frac{213}{19}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Գումարեք -\frac{3}{2} \frac{355}{38}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$m=\frac{149}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m-ը և 4m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Պարզեցնել:

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

Հանեք 24m+18n=390 24m-20n=-36-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

Գումարեք 24m -24m-ին: 24m-ը և -24m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-20n-18n=-36-390$$

Գումարեք -20n -18n-ին:

$$-38n=-36-390$$

Գումարեք -36 -390-ին:

$$-38n=-426$$

Բաժանեք երկու կողմերը -38-ի:

$$n=\frac{213}{19}$$

Փոխարինեք \frac{213}{19}-ը n-ով 4m+3n=65-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{213}{19}:

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

Հանեք \frac{639}{19} հավասարման երկու կողմից:

$$4m=\frac{596}{19}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$m=\frac{149}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$