Լուծեք {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5y+8x=-18$$

Հանեք 8x հավասարման երկու կողմից:

$$5y=-8x-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -8x-18:

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-8x-18}{5}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5y+2x=58:

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-8x-18}{5}:

$$-8x-18+2x=58$$

Գումարեք -8x 2x-ին:

$$-6x-18=58$$

Գումարեք 18 հավասարման երկու կողմին:

$$-6x=76$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$x=-\frac{38}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{38}{3}-ը x-ով y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{8}{5} անգամ -\frac{38}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

Գումարեք -\frac{18}{5} \frac{304}{15}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=\frac{50}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Հանեք 5y+2x=58 5y+8x=-18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

Գումարեք 5y -5y-ին: 5y-ը և -5y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8x-2x=-18-58$$

Գումարեք 8x -2x-ին:

$$6x=-18-58$$

Գումարեք -18 -58-ին:

$$6x=-76$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-\frac{38}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{38}{3}-ը x-ով 5y+2x=58-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{38}{3}:

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

Գումարեք \frac{76}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$5y=\frac{250}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{50}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$