Լուծեք {l}{5x-7y=-9}{-2x-y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 9 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-7y=-9$$

Գումարեք 7y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=7y-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 7y-9:

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}$$

Փոխարինեք \frac{7y-9}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-y=-4:

$$-2\left(\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}\right)-y=-4$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{7y-9}{5}:

$$-\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}-y=-4$$

Գումարեք -\frac{14y}{5} -y-ին:

$$-\frac{19}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

Հանեք \frac{18}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{38}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{19}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{7}{5} անգամ 2:

$$x=\frac{14-9}{5}$$

Գումարեք -\frac{9}{5} \frac{14}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{7}{19}\\-\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-9\right)-\frac{7}{19}\left(-4\right)\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)-\frac{5}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

5x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-2\times 5x-2\left(-7\right)y=-2\left(-9\right),5\left(-2\right)x+5\left(-1\right)y=5\left(-4\right)$$

Պարզեցնել:

$$-10x+14y=18,-10x-5y=-20$$

Հանեք -10x-5y=-20 -10x+14y=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-10x+10x+14y+5y=18+20$$

Գումարեք -10x 10x-ին: -10x-ը և 10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$14y+5y=18+20$$

Գումարեք 14y 5y-ին:

$$19y=18+20$$

Գումարեք 18 20-ին:

$$19y=38$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -2x-y=-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-2=-4$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$