Լուծեք {l}{5x-6y=10}{2x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-6y=10$$

Գումարեք 6y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=6y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 6y+10:

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

Փոխարինեք \frac{6y}{5}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+7y=3:

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{6y}{5}+2:

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

Գումարեք \frac{12y}{5} 7y-ին:

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{47}{5}y=-1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{47}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{5}{47}$$

Փոխարինեք -\frac{5}{47}-ը y-ով x=\frac{6}{5}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

Բազմապատկեք \frac{6}{5} անգամ -\frac{5}{47}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{6}{47}-ին:

$$x=\frac{88}{47}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

5x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

Պարզեցնել:

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

Հանեք 10x+35y=15 10x-12y=20-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y-35y=20-15$$

Գումարեք -12y -35y-ին:

$$-47y=20-15$$

Գումարեք 20 -15-ին:

$$-47y=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -47-ի:

$$y=-\frac{5}{47}$$

Փոխարինեք -\frac{5}{47}-ը y-ով 2x+7y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -\frac{5}{47}:

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

Գումարեք \frac{35}{47} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=\frac{176}{47}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{88}{47}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$