Լուծեք {l}{5x-4y=19}{x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-4y=19$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=4y+19$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 4y+19:

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4y+19}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+2y=7:

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

Գումարեք \frac{4y}{5} 2y-ին:

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

Հանեք \frac{19}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{14}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{8}{7}$$

Փոխարինեք \frac{8}{7}-ը y-ով x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{5} անգամ \frac{8}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

Գումարեք \frac{19}{5} \frac{32}{35}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{33}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

5x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

Պարզեցնել:

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

Հանեք 5x+10y=35 5x-4y=19-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y-10y=19-35$$

Գումարեք -4y -10y-ին:

$$-14y=19-35$$

Գումարեք 19 -35-ին:

$$-14y=-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը -14-ի:

$$y=\frac{8}{7}$$

Փոխարինեք \frac{8}{7}-ը y-ով x+2y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{8}{7}:

$$x+\frac{16}{7}=7$$

Հանեք \frac{16}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{33}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$