Լուծեք {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-3y-4=34$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$5x-3y=38$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=3y+38$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 3y+38:

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Փոխարինեք \frac{3y+38}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+5y-18=34:

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{3y+38}{5}:

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Գումարեք -\frac{9y}{5} 5y-ին:

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Գումարեք -\frac{114}{5} -18-ին:

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Գումարեք \frac{204}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{16}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{187}{8}$$

Փոխարինեք \frac{187}{8}-ը y-ով x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{5} անգամ \frac{187}{8}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

Գումարեք \frac{38}{5} \frac{561}{40}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{173}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Պարզեցնել:

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Հանեք -15x+25y-90=170 -15x+9y+12=-102-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

Գումարեք -15x 15x-ին: -15x-ը և 15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

Գումարեք 9y -25y-ին:

$$-16y+12+90=-102-170$$

Գումարեք 12 90-ին:

$$-16y+102=-102-170$$

Գումարեք -102 -170-ին:

$$-16y+102=-272$$

Հանեք 102 հավասարման երկու կողմից:

$$-16y=-374$$

Բաժանեք երկու կողմերը -16-ի:

$$y=\frac{187}{8}$$

Փոխարինեք \frac{187}{8}-ը y-ով -3x+5y-18=34-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{187}{8}:

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

Գումարեք \frac{935}{8} -18-ին:

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

Հանեք \frac{791}{8} հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=\frac{173}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$