Լուծեք {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1200$$

$$y=1400$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-3y=1800$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=3y+1800$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 1800+3y:

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

Փոխարինեք \frac{3y}{5}+360-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-4y=1600:

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{3y}{5}+360:

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

Գումարեք \frac{18y}{5} -4y-ին:

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

Հանեք 2160 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{2}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1400$$

Փոխարինեք 1400-ը y-ով x=\frac{3}{5}y+360-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

Բազմապատկեք \frac{3}{5} անգամ 1400:

$$x=840+360$$

Գումարեք 360 840-ին:

$$x=1200$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1200,y=1400$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1200,y=1400$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

5x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

Պարզեցնել:

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

Հանեք 30x-20y=8000 30x-18y=10800-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

Գումարեք 30x -30x-ին: 30x-ը և -30x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-18y+20y=10800-8000$$

Գումարեք -18y 20y-ին:

$$2y=10800-8000$$

Գումարեք 10800 -8000-ին:

$$2y=2800$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=1400$$

Փոխարինեք 1400-ը y-ով 6x-4y=1600-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-4\times 1400=1600$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1400:

$$6x-5600=1600$$

Գումարեք 5600 հավասարման երկու կողմին:

$$6x=7200$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=1200$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1200,y=1400$$