Լուծեք {l}{5x-2y=5}{10x-3y=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 5 } \\ { 10 x - 3 y = 35 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=11$$

$$y=25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-2y=5$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=2y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 2y+5:

$$x=\frac{2}{5}y+1$$

Փոխարինեք \frac{2y}{5}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 10x-3y=35:

$$10\left(\frac{2}{5}y+1\right)-3y=35$$

Բազմապատկեք 10 անգամ \frac{2y}{5}+1:

$$4y+10-3y=35$$

Գումարեք 4y -3y-ին:

$$y+10=35$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$y=25$$

Փոխարինեք 25-ը y-ով x=\frac{2}{5}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{5}\times 25+1$$

Բազմապատկեք \frac{2}{5} անգամ 25:

$$x=10+1$$

Գումարեք 1 10-ին:

$$x=11$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=11,y=25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 35\\-2\times 5+35\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\25\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=11,y=25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

5x-ը և 10x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 10-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$10\times 5x+10\left(-2\right)y=10\times 5,5\times 10x+5\left(-3\right)y=5\times 35$$

Պարզեցնել:

$$50x-20y=50,50x-15y=175$$

Հանեք 50x-15y=175 50x-20y=50-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$50x-50x-20y+15y=50-175$$

Գումարեք 50x -50x-ին: 50x-ը և -50x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-20y+15y=50-175$$

Գումարեք -20y 15y-ին:

$$-5y=50-175$$

Գումարեք 50 -175-ին:

$$-5y=-125$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=25$$

Փոխարինեք 25-ը y-ով 10x-3y=35-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$10x-3\times 25=35$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 25:

$$10x-75=35$$

Գումարեք 75 հավասարման երկու կողմին:

$$10x=110$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=11$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=11,y=25$$