Լուծեք {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

Լուծել x, z-ի համար

$$x=0$$

$$z=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 7z երկու կողմերից:

$$5x-7z=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9z երկու կողմերից:

$$8x-9z=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-7z=0$$

Գումարեք 7z հավասարման երկու կողմին:

$$5x=7z$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 7z:

$$x=\frac{7}{5}z$$

Փոխարինեք \frac{7z}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 8x-9z=0:

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{7z}{5}:

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

Գումարեք \frac{56z}{5} -9z-ին:

$$\frac{11}{5}z=0$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$z=0$$

Փոխարինեք 0-ը z-ով x=\frac{7}{5}z-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,z=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 7z երկու կողմերից:

$$5x-7z=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9z երկու կողմերից:

$$8x-9z=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և z տարրերը:

$$x=0,z=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 7z երկու կողմերից:

$$5x-7z=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9z երկու կողմերից:

$$8x-9z=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

5x-ը և 8x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

Պարզեցնել:

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

Հանեք 40x-45z=0 40x-56z=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$40x-40x-56z+45z=0$$

Գումարեք 40x -40x-ին: 40x-ը և -40x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-56z+45z=0$$

Գումարեք -56z 45z-ին:

$$-11z=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$z=0$$

Փոխարինեք 0-ը z-ով 8x-9z=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$8x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,z=0$$