Լուծեք {l}{5x=4y-2}{5y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$5x-4y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$5y+1-x=0$$

Հանեք 1 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$5y-x=-1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-4y=-2$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=4y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 4y-2:

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4y-2}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+5y=-1:

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{4y-2}{5}:

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

Գումարեք -\frac{4y}{5} 5y-ին:

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

Հանեք \frac{2}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{21}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը y-ով x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{5} անգամ -\frac{1}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

Գումարեք -\frac{2}{5} -\frac{4}{15}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$5x-4y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$5y+1-x=0$$

Հանեք 1 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$5y-x=-1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$5x-4y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$5y+1-x=0$$

Հանեք 1 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$5y-x=-1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

5x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

Հանեք -5x+25y=-5 -5x+4y=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

Գումարեք -5x 5x-ին: -5x-ը և 5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-25y=2+5$$

Գումարեք 4y -25y-ին:

$$-21y=2+5$$

Գումարեք 2 5-ին:

$$-21y=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -21-ի:

$$y=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը y-ով -x+5y=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{1}{3}:

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

Գումարեք \frac{5}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$-x=\frac{2}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$