Լուծեք {l}{5x+6y=19}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 19 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{37}{11} = 3\frac{4}{11} \approx 3.363636364$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+6y=19,x-y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+6y=19$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-6y+19$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+19\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -6y+19:

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-6y+19}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=3:

$$-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}-y=3$$

Գումարեք -\frac{6y}{5} -y-ին:

$$-\frac{11}{5}y+\frac{19}{5}=3$$

Հանեք \frac{19}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{4}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{11}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{4}{11}$$

Փոխարինեք \frac{4}{11}-ը y-ով x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{4}{11}+\frac{19}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{6}{5} անգամ \frac{4}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{24}{55}+\frac{19}{5}$$

Գումարեք \frac{19}{5} -\frac{24}{55}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{37}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+6y=19,x-y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{5\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{6}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 19-\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{11}\\\frac{4}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+6y=19,x-y=3$$

5x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$5x+6y=19,5x+5\left(-1\right)y=5\times 3$$

Պարզեցնել:

$$5x+6y=19,5x-5y=15$$

Հանեք 5x-5y=15 5x+6y=19-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x+6y+5y=19-15$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y+5y=19-15$$

Գումարեք 6y 5y-ին:

$$11y=19-15$$

Գումարեք 19 -15-ին:

$$11y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=\frac{4}{11}$$

Փոխարինեք \frac{4}{11}-ը y-ով x-y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\frac{4}{11}=3$$

Գումարեք \frac{4}{11} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{37}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$