Լուծեք {l}{5x+3y=5}{xquad=1-y/7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 5 } \\ { x \quad = 1 - \frac { y } { 7 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{y}{7}-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{y}{7}=1$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 7-ով:

$$7x+y=7$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+3y=5$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-3y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -3y+5:

$$x=-\frac{3}{5}y+1$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{5}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x+y=7:

$$7\left(-\frac{3}{5}y+1\right)+y=7$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -\frac{3y}{5}+1:

$$-\frac{21}{5}y+7+y=7$$

Գումարեք -\frac{21y}{5} y-ին:

$$-\frac{16}{5}y+7=7$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{16}{5}y=0$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{16}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով x=-\frac{3}{5}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{y}{7}-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{y}{7}=1$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 7-ով:

$$7x+y=7$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\times 7}&-\frac{3}{5-3\times 7}\\-\frac{7}{5-3\times 7}&\frac{5}{5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{7}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 5+\frac{3}{16}\times 7\\\frac{7}{16}\times 5-\frac{5}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{y}{7}-ը երկու կողմերում:

$$x+\frac{y}{7}=1$$

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 7-ով:

$$7x+y=7$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

5x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$7\times 5x+7\times 3y=7\times 5,5\times 7x+5y=5\times 7$$

Պարզեցնել:

$$35x+21y=35,35x+5y=35$$

Հանեք 35x+5y=35 35x+21y=35-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$35x-35x+21y-5y=35-35$$

Գումարեք 35x -35x-ին: 35x-ը և -35x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$21y-5y=35-35$$

Գումարեք 21y -5y-ին:

$$16y=35-35$$

Գումարեք 35 -35-ին:

$$16y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով 7x+y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=0$$