Լուծեք {l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-14$$

$$y=24$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+3y-2=0$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$5x+3y=2$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-3y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -3y+2:

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+2}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=10:

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

Գումարեք -\frac{3y}{5} y-ին:

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

Հանեք \frac{2}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{2}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=24$$

Փոխարինեք 24-ը y-ով x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{5} անգամ 24:

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

Գումարեք \frac{2}{5} -\frac{72}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-14,y=24$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-14,y=24$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

5x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

Պարզեցնել:

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

Հանեք 5x+5y=50 5x+3y-2=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y-5y-2=-50$$

Գումարեք 3y -5y-ին:

$$-2y-2=-50$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$-2y=-48$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=24$$

Փոխարինեք 24-ը y-ով x+y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+24=10$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$x=-14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-14,y=24$$