Լուծեք {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել u, x-ի համար

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն u-ի համար՝ առանձնացնելով u-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5u+x=-10$$

Հանեք x հավասարման երկու կողմից:

$$5u=-x-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -x-10:

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

Փոխարինեք -\frac{x}{5}-2-ը u-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3u+3x=0:

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{x}{5}-2:

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

Գումարեք -\frac{3x}{5} 3x-ին:

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{12}{5}x=6$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{12}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5}{2}-ը x-ով u=-\frac{1}{5}x-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես u-ի համար:

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ \frac{5}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

Գումարեք -2 -\frac{1}{2}-ին:

$$u=-\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի u և x տարրերը:

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

5u-ը և 3u-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

Պարզեցնել:

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

Հանեք 15u+15x=0 15u+3x=-30-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

Գումարեք 15u -15u-ին: 15u-ը և -15u-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3x-15x=-30$$

Գումարեք 3x -15x-ին:

$$-12x=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$x=\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5}{2}-ը x-ով 3u+3x=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես u-ի համար:

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{5}{2}:

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

Հանեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$3u=-\frac{15}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$u=-\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$