Լուծեք {l}{5p+6q=59}{9p+6q=87}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 p + 6 q = 59 } \\ { 9 p + 6 q = 87 } \end{array} \right.$$

Լուծել p, q-ի համար

$$p=7$$

$$q=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5p+6q=59,9p+6q=87$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն p-ի համար՝ առանձնացնելով p-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5p+6q=59$$

Հանեք 6q հավասարման երկու կողմից:

$$5p=-6q+59$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$p=\frac{1}{5}\left(-6q+59\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -6q+59:

$$p=-\frac{6}{5}q+\frac{59}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-6q+59}{5}-ը p-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9p+6q=87:

$$9\left(-\frac{6}{5}q+\frac{59}{5}\right)+6q=87$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{-6q+59}{5}:

$$-\frac{54}{5}q+\frac{531}{5}+6q=87$$

Գումարեք -\frac{54q}{5} 6q-ին:

$$-\frac{24}{5}q+\frac{531}{5}=87$$

Հանեք \frac{531}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{24}{5}q=-\frac{96}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{24}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$q=4$$

Փոխարինեք 4-ը q-ով p=-\frac{6}{5}q+\frac{59}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$p=-\frac{6}{5}\times 4+\frac{59}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{6}{5} անգամ 4:

$$p=\frac{-24+59}{5}$$

Գումարեք \frac{59}{5} -\frac{24}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$p=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=7,q=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5p+6q=59,9p+6q=87$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&6\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\87\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&6\\9&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\87\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\87\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6\times 9}&-\frac{6}{5\times 6-6\times 9}\\-\frac{9}{5\times 6-6\times 9}&\frac{5}{5\times 6-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\87\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\87\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 59+\frac{1}{4}\times 87\\\frac{3}{8}\times 59-\frac{5}{24}\times 87\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի p և q տարրերը:

$$p=7,q=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5p+6q=59,9p+6q=87$$

Հանեք 9p+6q=87 5p+6q=59-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5p-9p+6q-6q=59-87$$

Գումարեք 6q -6q-ին: 6q-ը և -6q-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5p-9p=59-87$$

Գումարեք 5p -9p-ին:

$$-4p=59-87$$

Գումարեք 59 -87-ին:

$$-4p=-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$p=7$$

Փոխարինեք 7-ը p-ով 9p+6q=87-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես q-ի համար:

$$9\times 7+6q=87$$

Բազմապատկեք 9 անգամ 7:

$$63+6q=87$$

Հանեք 63 հավասարման երկու կողմից:

$$6q=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$q=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=7,q=4$$