Լուծեք {l}{5k+b=3}{2k+b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 k + b = 3 } \\ { 2 k + b = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել k, b-ի համար

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$b = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3} \approx 9.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5k+b=3,2k+b=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն k-ի համար՝ առանձնացնելով k-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5k+b=3$$

Հանեք b հավասարման երկու կողմից:

$$5k=-b+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$k=\frac{1}{5}\left(-b+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -b+3:

$$k=-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-b+3}{5}-ը k-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2k+b=7:

$$2\left(-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5}\right)+b=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-b+3}{5}:

$$-\frac{2}{5}b+\frac{6}{5}+b=7$$

Գումարեք -\frac{2b}{5} b-ին:

$$\frac{3}{5}b+\frac{6}{5}=7$$

Հանեք \frac{6}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{3}{5}b=\frac{29}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=\frac{29}{3}$$

Փոխարինեք \frac{29}{3}-ը b-ով k=-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես k-ի համար:

$$k=-\frac{1}{5}\times \frac{29}{3}+\frac{3}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ \frac{29}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$k=-\frac{29}{15}+\frac{3}{5}$$

Գումարեք \frac{3}{5} -\frac{29}{15}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$k=-\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5k+b=3,2k+b=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{5}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{29}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի k և b տարրերը:

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5k+b=3,2k+b=7$$

Հանեք 2k+b=7 5k+b=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5k-2k+b-b=3-7$$

Գումարեք b -b-ին: b-ը և -b-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5k-2k=3-7$$

Գումարեք 5k -2k-ին:

$$3k=3-7$$

Գումարեք 3 -7-ին:

$$3k=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$k=-\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{4}{3}-ը k-ով 2k+b=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես b-ի համար:

$$2\left(-\frac{4}{3}\right)+b=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{4}{3}:

$$-\frac{8}{3}+b=7$$

Գումարեք \frac{8}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$b=\frac{29}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$