Լուծեք {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել b, c-ի համար

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն b-ի համար՝ առանձնացնելով b-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5b+c=8$$

Հանեք c հավասարման երկու կողմից:

$$5b=-c+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -c+8:

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-c+8}{5}-ը b-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4b+4c=8:

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-c+8}{5}:

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

Գումարեք -\frac{4c}{5} 4c-ին:

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

Հանեք \frac{32}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{16}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$c=\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{1}{2}-ը c-ով b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես b-ի համար:

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ \frac{1}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

Գումարեք \frac{8}{5} -\frac{1}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$b=\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի b և c տարրերը:

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

5b-ը և 4b-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

Պարզեցնել:

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

Հանեք 20b+20c=40 20b+4c=32-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

Գումարեք 20b -20b-ին: 20b-ը և -20b-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4c-20c=32-40$$

Գումարեք 4c -20c-ին:

$$-16c=32-40$$

Գումարեք 32 -40-ին:

$$-16c=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -16-ի:

$$c=\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{1}{2}-ը c-ով 4b+4c=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես b-ի համար:

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{1}{2}:

$$4b+2=8$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$4b=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$b=\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$