Լուծեք {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=200$$

$$y=95$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$45+0.25x-y=0$$

Հանեք 45 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$0.25x-y=-45$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$35+0.3x-y=0$$

Հանեք 35 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$0.3x-y=-35$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.25x-y=-45$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$0.25x=y-45$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 4-ով:

$$x=4\left(y-45\right)$$

Բազմապատկեք 4 անգամ y-45:

$$x=4y-180$$

Փոխարինեք -180+4y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.3x-y=-35:

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

Բազմապատկեք 0.3 անգամ -180+4y:

$$1.2y-54-y=-35$$

Գումարեք \frac{6y}{5} -y-ին:

$$0.2y-54=-35$$

Գումարեք 54 հավասարման երկու կողմին:

$$0.2y=19$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 5-ով:

$$y=95$$

Փոխարինեք 95-ը y-ով x=4y-180-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=4\times 95-180$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 95:

$$x=380-180$$

Գումարեք -180 380-ին:

$$x=200$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=200,y=95$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$45+0.25x-y=0$$

Հանեք 45 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$0.25x-y=-45$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$35+0.3x-y=0$$

Հանեք 35 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$0.3x-y=-35$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=200,y=95$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$45+0.25x-y=0$$

Հանեք 45 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$0.25x-y=-45$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$35+0.3x-y=0$$

Հանեք 35 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$0.3x-y=-35$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Հանեք 0.3x-y=-35 0.25x-y=-45-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

Գումարեք -y y-ին: -y-ը և y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

Գումարեք \frac{x}{4} -\frac{3x}{10}-ին:

$$-0.05x=-45+35$$

Գումարեք -45 35-ին:

$$-0.05x=-10$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -20-ով:

$$x=200$$

Փոխարինեք 200-ը x-ով 0.3x-y=-35-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$0.3\times 200-y=-35$$

Բազմապատկեք 0.3 անգամ 200:

$$60-y=-35$$

Հանեք 60 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-95$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=95$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=200,y=95$$