Լուծեք {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$41x+53y=135$$

Հանեք 53y հավասարման երկու կողմից:

$$41x=-53y+135$$

Բաժանեք երկու կողմերը 41-ի:

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{41} անգամ -53y+135:

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

Փոխարինեք \frac{-53y+135}{41}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 53x+41y=147:

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

Բազմապատկեք 53 անգամ \frac{-53y+135}{41}:

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

Գումարեք -\frac{2809y}{41} 41y-ին:

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

Հանեք \frac{7155}{41} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{1128}{41}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

Գումարեք \frac{135}{41} -\frac{53}{41}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

41x-ը և 53x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 53-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 41-ով:

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

Պարզեցնել:

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

Հանեք 2173x+1681y=6027 2173x+2809y=7155-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

Գումարեք 2173x -2173x-ին: 2173x-ը և -2173x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2809y-1681y=7155-6027$$

Գումարեք 2809y -1681y-ին:

$$1128y=7155-6027$$

Գումարեք 7155 -6027-ին:

$$1128y=1128$$

Բաժանեք երկու կողմերը 1128-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 53x+41y=147-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$53x+41=147$$

Հանեք 41 հավասարման երկու կողմից:

$$53x=106$$

Բաժանեք երկու կողմերը 53-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=1$$