Լուծեք {l}{40x+30y=500}{60x+15y=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$40x+30y=500$$

Հանեք 30y հավասարման երկու կողմից:

$$40x=-30y+500$$

Բաժանեք երկու կողմերը 40-ի:

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{40} անգամ -30y+500:

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 60x+15y=60:

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

Բազմապատկեք 60 անգամ -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}:

$$-45y+750+15y=60$$

Գումարեք -45y 15y-ին:

$$-30y+750=60$$

Հանեք 750 հավասարման երկու կողմից:

$$-30y=-690$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=23$$

Փոխարինեք 23-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ 23:

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

Գումարեք \frac{25}{2} -\frac{69}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{19}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

40x-ը և 60x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 60-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 40-ով:

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

Պարզեցնել:

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

Հանեք 2400x+600y=2400 2400x+1800y=30000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

Գումարեք 2400x -2400x-ին: 2400x-ը և -2400x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$1800y-600y=30000-2400$$

Գումարեք 1800y -600y-ին:

$$1200y=30000-2400$$

Գումարեք 30000 -2400-ին:

$$1200y=27600$$

Բաժանեք երկու կողմերը 1200-ի:

$$y=23$$

Փոխարինեք 23-ը y-ով 60x+15y=60-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$60x+15\times 23=60$$

Բազմապատկեք 15 անգամ 23:

$$60x+345=60$$

Հանեք 345 հավասարման երկու կողմից:

$$60x=-285$$

Բաժանեք երկու կողմերը 60-ի:

$$x=-\frac{19}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$