Լուծեք {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=6$$

$$y=-10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4y-ը երկու կողմերում:

$$x+4y=-34$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4y-5x=-70$$

Գումարեք 5x հավասարման երկու կողմին:

$$4y=5x-70$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -70+5x:

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4y+x=-34:

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}:

$$5x-70+x=-34$$

Գումարեք 5x x-ին:

$$6x-70=-34$$

Գումարեք 70 հավասարման երկու կողմին:

$$6x=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=6$$

Փոխարինեք 6-ը x-ով y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{4} անգամ 6:

$$y=\frac{15-35}{2}$$

Գումարեք -\frac{35}{2} \frac{15}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=-10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-10,x=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4y-ը երկու կողմերում:

$$x+4y=-34$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-10,x=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4y-ը երկու կողմերում:

$$x+4y=-34$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Հանեք 4y+x=-34 4y-5x=-70-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

Գումարեք 4y -4y-ին: 4y-ը և -4y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5x-x=-70+34$$

Գումարեք -5x -x-ին:

$$-6x=-70+34$$

Գումարեք -70 34-ին:

$$-6x=-36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$x=6$$

Փոխարինեք 6-ը x-ով 4y+x=-34-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$4y+6=-34$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$4y=-40$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=-10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-10,x=6$$