Լուծեք {l}{4x-4y=-2}{-9x-4y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 4 y = - 2 } \\ { - 9 x - 4 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{1}{13}\approx 0.076923077$$

$$y=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-4y=-2,-9x-4y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-4y=-2$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=4y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(4y-2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 4y-2:

$$x=y-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք y-\frac{1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -9x-4y=-3:

$$-9\left(y-\frac{1}{2}\right)-4y=-3$$

Բազմապատկեք -9 անգամ y-\frac{1}{2}:

$$-9y+\frac{9}{2}-4y=-3$$

Գումարեք -9y -4y-ին:

$$-13y+\frac{9}{2}=-3$$

Հանեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-13y=-\frac{15}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$y=\frac{15}{26}$$

Փոխարինեք \frac{15}{26}-ը y-ով x=y-\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{15}{26}-\frac{1}{2}$$

Գումարեք -\frac{1}{2} \frac{15}{26}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{1}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{13},y=\frac{15}{26}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-4y=-2,-9x-4y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-9&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-4\left(-9\right)\right)}&-\frac{-4}{4\left(-4\right)-\left(-4\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-4\right)-\left(-4\left(-9\right)\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-4\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{9}{52}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-2\right)-\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{9}{52}\left(-2\right)-\frac{1}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\\\frac{15}{26}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{1}{13},y=\frac{15}{26}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-4y=-2,-9x-4y=-3$$

Հանեք -9x-4y=-3 4x-4y=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x+9x-4y+4y=-2+3$$

Գումարեք -4y 4y-ին: -4y-ը և 4y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4x+9x=-2+3$$

Գումարեք 4x 9x-ին:

$$13x=-2+3$$

Գումարեք -2 3-ին:

$$13x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$x=\frac{1}{13}$$

Փոխարինեք \frac{1}{13}-ը x-ով -9x-4y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-9\times \frac{1}{13}-4y=-3$$

Բազմապատկեք -9 անգամ \frac{1}{13}:

$$-\frac{9}{13}-4y=-3$$

Գումարեք \frac{9}{13} հավասարման երկու կողմին:

$$-4y=-\frac{30}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=\frac{15}{26}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{13},y=\frac{15}{26}$$