Լուծեք {l}{4x-2y=5}{3x-4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-2y=5$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=2y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 2y+5:

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}+\frac{5}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-4y=15:

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)-4y=15$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{y}{2}+\frac{5}{4}:

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{4}-4y=15$$

Գումարեք \frac{3y}{2} -4y-ին:

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{4}=15$$

Հանեք \frac{15}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{2}y=\frac{45}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{9}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{9}{2}-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -\frac{9}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

Գումարեք \frac{5}{4} -\frac{9}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 15\\\frac{3}{10}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

4x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

Պարզեցնել:

$$12x-6y=15,12x-16y=60$$

Հանեք 12x-16y=60 12x-6y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x-6y+16y=15-60$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y+16y=15-60$$

Գումարեք -6y 16y-ին:

$$10y=15-60$$

Գումարեք 15 -60-ին:

$$10y=-45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=-\frac{9}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{9}{2}-ը y-ով 3x-4y=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-4\left(-\frac{9}{2}\right)=15$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -\frac{9}{2}:

$$3x+18=15$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$