Լուծեք {l}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-2y+4=0$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$4x-2y=-4$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=2y-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -4+2y:

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}-1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x+3y-3=0:

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{y}{2}-1:

$$-2y+4+3y-3=0$$

Գումարեք -2y 3y-ին:

$$y+4-3=0$$

Գումարեք 4 -3-ին:

$$y+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=\frac{1}{2}y-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -1:

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

Գումարեք -1 -\frac{1}{2}-ին:

$$x=-\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

4x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

Հանեք -16x+12y-12=0 -16x+8y-16=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

Գումարեք -16x 16x-ին: -16x-ը և 16x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-12y-16+12=0$$

Գումարեք 8y -12y-ին:

$$-4y-16+12=0$$

Գումարեք -16 12-ին:

$$-4y-4=0$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$-4y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով -4x+3y-3=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -1:

$$-4x-3-3=0$$

Գումարեք -3 -3-ին:

$$-4x-6=0$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$-4x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$