Լուծեք {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=45$$

$$y=-165$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+y=15$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-y+15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -y+15:

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-y+15}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 19x+5y=30:

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

Բազմապատկեք 19 անգամ \frac{-y+15}{4}:

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

Գումարեք -\frac{19y}{4} 5y-ին:

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

Հանեք \frac{285}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 4-ով:

$$y=-165$$

Փոխարինեք -165-ը y-ով x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} անգամ -165:

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Գումարեք \frac{15}{4} \frac{165}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=45$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=45,y=-165$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=45,y=-165$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x-ը և 19x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 19-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Պարզեցնել:

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

Հանեք 76x+20y=120 76x+19y=285-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

Գումարեք 76x -76x-ին: 76x-ը և -76x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$19y-20y=285-120$$

Գումարեք 19y -20y-ին:

$$-y=285-120$$

Գումարեք 285 -120-ին:

$$-y=165$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-165$$

Փոխարինեք -165-ը y-ով 19x+5y=30-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -165:

$$19x-825=30$$

Գումարեք 825 հավասարման երկու կողմին:

$$19x=855$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$x=45$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=45,y=-165$$