Լուծեք {l}{4x+y=0}{-2x+7y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 0 } \\ { - 2 x + 7 y = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$y=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+y=0,-2x+7y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+y=0$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-1\right)y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -y:

$$x=-\frac{1}{4}y$$

Փոխարինեք -\frac{y}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+7y=4:

$$-2\left(-\frac{1}{4}\right)y+7y=4$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{y}{4}:

$$\frac{1}{2}y+7y=4$$

Գումարեք \frac{y}{2} 7y-ին:

$$\frac{15}{2}y=4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{15}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{8}{15}$$

Փոխարինեք \frac{8}{15}-ը y-ով x=-\frac{1}{4}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{8}{15}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} անգամ \frac{8}{15}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{2}{15}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{15},y=\frac{8}{15}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+y=0,-2x+7y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{1}{4\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\times 7-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{30}&-\frac{1}{30}\\\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{30}\times 4\\\frac{2}{15}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\\\frac{8}{15}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{2}{15},y=\frac{8}{15}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+y=0,-2x+7y=4$$

4x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$-2\times 4x-2y=0,4\left(-2\right)x+4\times 7y=4\times 4$$

Պարզեցնել:

$$-8x-2y=0,-8x+28y=16$$

Հանեք -8x+28y=16 -8x-2y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-8x+8x-2y-28y=-16$$

Գումարեք -8x 8x-ին: -8x-ը և 8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-28y=-16$$

Գումարեք -2y -28y-ին:

$$-30y=-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=\frac{8}{15}$$

Փոխարինեք \frac{8}{15}-ը y-ով -2x+7y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+7\times \frac{8}{15}=4$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{8}{15}:

$$-2x+\frac{56}{15}=4$$

Հանեք \frac{56}{15} հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=\frac{4}{15}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{2}{15}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2}{15},y=\frac{8}{15}$$