Լուծեք {l}{4x+5y=7}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{59}{23} = 2\frac{13}{23} \approx 2.565217391$$

$$y=-\frac{15}{23}\approx -0.652173913$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+5y=7$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-5y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -5y+7:

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-5y+7}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=9:

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)-2y=9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-5y+7}{4}:

$$-\frac{15}{4}y+\frac{21}{4}-2y=9$$

Գումարեք -\frac{15y}{4} -2y-ին:

$$-\frac{23}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Հանեք \frac{21}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{23}{4}y=\frac{15}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{23}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{15}{23}$$

Փոխարինեք -\frac{15}{23}-ը y-ով x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{15}{23}\right)+\frac{7}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{4} անգամ -\frac{15}{23}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{75}{92}+\frac{7}{4}$$

Գումարեք \frac{7}{4} \frac{75}{92}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{59}{23}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 7+\frac{5}{23}\times 9\\\frac{3}{23}\times 7-\frac{4}{23}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{23}\\-\frac{15}{23}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

4x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 7,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 9$$

Պարզեցնել:

$$12x+15y=21,12x-8y=36$$

Հանեք 12x-8y=36 12x+15y=21-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+15y+8y=21-36$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y+8y=21-36$$

Գումարեք 15y 8y-ին:

$$23y=21-36$$

Գումարեք 21 -36-ին:

$$23y=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 23-ի:

$$y=-\frac{15}{23}$$

Փոխարինեք -\frac{15}{23}-ը y-ով 3x-2y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\left(-\frac{15}{23}\right)=9$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{15}{23}:

$$3x+\frac{30}{23}=9$$

Հանեք \frac{30}{23} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{177}{23}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{59}{23}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$