Լուծեք {l}{4x+5y=2}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+5y=2$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-5y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -5y+2:

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+4y=1:

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2}:

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

Գումարեք -\frac{15y}{4} 4y-ին:

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 4-ով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{4} անգամ -2:

$$x=\frac{5+1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} \frac{5}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

4x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

Պարզեցնել:

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

Հանեք 12x+16y=4 12x+15y=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-16y=6-4$$

Գումարեք 15y -16y-ին:

$$-y=6-4$$

Գումարեք 6 -4-ին:

$$-y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով 3x+4y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -2:

$$3x-8=1$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-2$$