Լուծեք {l}{4x+3y=4}{4x+6y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 4 } \\ { 4 x + 6 y = 16 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+3y=4$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-3y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -3y+4:

$$x=-\frac{3}{4}y+1$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{4}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+6y=16:

$$4\left(-\frac{3}{4}y+1\right)+6y=16$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{3y}{4}+1:

$$-3y+4+6y=16$$

Գումարեք -3y 6y-ին:

$$3y+4=16$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\times 4+1$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ 4:

$$x=-3+1$$

Գումարեք 1 -3-ին:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 6-3\times 4}&\frac{4}{4\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Հանեք 4x+6y=16 4x+3y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+3y-6y=4-16$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y-6y=4-16$$

Գումարեք 3y -6y-ին:

$$-3y=4-16$$

Գումարեք 4 -16-ին:

$$-3y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 4x+6y=16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+6\times 4=16$$

Բազմապատկեք 6 անգամ 4:

$$4x+24=16$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=4$$