Լուծեք {l}{4x+3y=10700}{3x+4y=10300}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 10700 } \\ { 3 x + 4 y = 10300 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1700$$

$$y=1300$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+3y=10700$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-3y+10700$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10700\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -3y+10700:

$$x=-\frac{3}{4}y+2675$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{4}+2675-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+4y=10300:

$$3\left(-\frac{3}{4}y+2675\right)+4y=10300$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{3y}{4}+2675:

$$-\frac{9}{4}y+8025+4y=10300$$

Գումարեք -\frac{9y}{4} 4y-ին:

$$\frac{7}{4}y+8025=10300$$

Հանեք 8025 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7}{4}y=2275$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1300$$

Փոխարինեք 1300-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y+2675-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\times 1300+2675$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ 1300:

$$x=-975+2675$$

Գումարեք 2675 -975-ին:

$$x=1700$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1700,y=1300$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-3\times 3}&\frac{4}{4\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10700\\10300\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 10700-\frac{3}{7}\times 10300\\-\frac{3}{7}\times 10700+\frac{4}{7}\times 10300\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1700\\1300\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1700,y=1300$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+3y=10700,3x+4y=10300$$

4x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 10700,4\times 3x+4\times 4y=4\times 10300$$

Պարզեցնել:

$$12x+9y=32100,12x+16y=41200$$

Հանեք 12x+16y=41200 12x+9y=32100-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+9y-16y=32100-41200$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-16y=32100-41200$$

Գումարեք 9y -16y-ին:

$$-7y=32100-41200$$

Գումարեք 32100 -41200-ին:

$$-7y=-9100$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=1300$$

Փոխարինեք 1300-ը y-ով 3x+4y=10300-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+4\times 1300=10300$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 1300:

$$3x+5200=10300$$

Հանեք 5200 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=5100$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=1700$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1700,y=1300$$