Լուծեք {l}{4x+3y=-7}{-2x-5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { - 2 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+3y=-7,-2x-5y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+3y=-7$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-3y-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -3y-7:

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-3y-7}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-5y=7:

$$-2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=7$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{-3y-7}{4}:

$$\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}-5y=7$$

Գումարեք \frac{3y}{2} -5y-ին:

$$-\frac{7}{2}y+\frac{7}{2}=7$$

Հանեք \frac{7}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{7}{2}y=\frac{7}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ -1:

$$x=\frac{3-7}{4}$$

Գումարեք -\frac{7}{4} \frac{3}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+3y=-7,-2x-5y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\left(-5\right)-3\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-7\right)+\frac{3}{14}\times 7\\-\frac{1}{7}\left(-7\right)-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+3y=-7,-2x-5y=7$$

4x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$-2\times 4x-2\times 3y=-2\left(-7\right),4\left(-2\right)x+4\left(-5\right)y=4\times 7$$

Պարզեցնել:

$$-8x-6y=14,-8x-20y=28$$

Հանեք -8x-20y=28 -8x-6y=14-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-8x+8x-6y+20y=14-28$$

Գումարեք -8x 8x-ին: -8x-ը և 8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y+20y=14-28$$

Գումարեք -6y 20y-ին:

$$14y=14-28$$

Գումարեք 14 -28-ին:

$$14y=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 14-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով -2x-5y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-5\left(-1\right)=7$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -1:

$$-2x+5=7$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-1$$