Լուծեք {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել a_1, d-ի համար

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a_{1}-ի համար՝ առանձնացնելով a_{1}-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4a_{1}+6d=3$$

Հանեք 6d հավասարման երկու կողմից:

$$4a_{1}=-6d+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -6d+3:

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Փոխարինեք -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}-ը a_{1}-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3a_{1}+21d=4:

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}:

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Գումարեք -\frac{9d}{2} 21d-ին:

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Հանեք \frac{9}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{33}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$d=\frac{7}{66}$$

Փոխարինեք \frac{7}{66}-ը d-ով a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a_{1}-ի համար:

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{7}{66}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Գումարեք \frac{3}{4} -\frac{7}{44}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a_{1} և d տարրերը:

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1}-ը և 3a_{1}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Պարզեցնել:

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Հանեք 12a_{1}+84d=16 12a_{1}+18d=9-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Գումարեք 12a_{1} -12a_{1}-ին: 12a_{1}-ը և -12a_{1}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18d-84d=9-16$$

Գումարեք 18d -84d-ին:

$$-66d=9-16$$

Գումարեք 9 -16-ին:

$$-66d=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -66-ի:

$$d=\frac{7}{66}$$

Փոխարինեք \frac{7}{66}-ը d-ով 3a_{1}+21d=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a_{1}-ի համար:

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

Բազմապատկեք 21 անգամ \frac{7}{66}:

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Հանեք \frac{49}{22} հավասարման երկու կողմից:

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$