Լուծեք {l}{4a+5v=28}{6a+3v=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 v = 28 } \\ { 6 a + 3 v = 24 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, v-ի համար

$$a=2$$

$$v=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4a+5v=28$$

Հանեք 5v հավասարման երկու կողմից:

$$4a=-5v+28$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$a=\frac{1}{4}\left(-5v+28\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -5v+28:

$$a=-\frac{5}{4}v+7$$

Փոխարինեք -\frac{5v}{4}+7-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6a+3v=24:

$$6\left(-\frac{5}{4}v+7\right)+3v=24$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -\frac{5v}{4}+7:

$$-\frac{15}{2}v+42+3v=24$$

Գումարեք -\frac{15v}{2} 3v-ին:

$$-\frac{9}{2}v+42=24$$

Հանեք 42 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{9}{2}v=-18$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{9}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$v=4$$

Փոխարինեք 4-ը v-ով a=-\frac{5}{4}v+7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{5}{4}\times 4+7$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{4} անգամ 4:

$$a=-5+7$$

Գումարեք 7 -5-ին:

$$a=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=2,v=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{4\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{4\times 3-5\times 6}&\frac{4}{4\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{5}{18}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 28+\frac{5}{18}\times 24\\\frac{1}{3}\times 28-\frac{2}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և v տարրերը:

$$a=2,v=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

4a-ը և 6a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$6\times 4a+6\times 5v=6\times 28,4\times 6a+4\times 3v=4\times 24$$

Պարզեցնել:

$$24a+30v=168,24a+12v=96$$

Հանեք 24a+12v=96 24a+30v=168-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$24a-24a+30v-12v=168-96$$

Գումարեք 24a -24a-ին: 24a-ը և -24a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$30v-12v=168-96$$

Գումարեք 30v -12v-ին:

$$18v=168-96$$

Գումարեք 168 -96-ին:

$$18v=72$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$v=4$$

Փոխարինեք 4-ը v-ով 6a+3v=24-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$6a+3\times 4=24$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 4:

$$6a+12=24$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$6a=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$a=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=2,v=4$$